Géométrie : échanges et perspectives

Avec Hugues Auvray, nous organisons la journée Géométrie : échanges et perspectives, qui aura lieu le 16 février 2018 à l’Institut Henri Poincaré.
La rencontre s’articule autour de trois exposés : un exposé de recherche d’une heure et deux exposés de synthèse d’une heure et demie. Le but de ces derniers est  de présenter de façon pédagogique un sujet de recherche, ses outils et ses techniques de base, pour un large public de géomètres.

Vous trouvez ici le programme de la journée.

Exposés de synthèse

Paul Laurain (Paris 7) : Le problème isopérimétrique en relativité générale.
Les espaces asymptotiquement plats dont la courbure scalaire est positive sont de bons modèles de système isolées en relativité générale. Le théorème de la masse positive, démontré par Schoen et Yau en 82, nous assure qu’a l’exception de l’espace euclidien $\R^3$, on peut définir un invariant strictement positif ne dépendant que de la métrique: la masse. Une question assez naturelle est alors de chercher à définir un centre de masse pour ces variétés. C’est seulement récemment que cette question a été complètement résolue, notamment à l’aide d’une étude précise des solutions du problème isopérmétrique dans ces espaces. Je ferai donc une revue des différents résultats en essayant d’expliquer les difficultés analytiques inhérentes à ce genre de problème mais aussi les conséquences géométriques des outils introduits qui dépassent largement le cadre de la relativité générale. Enfin je donnerai quelques perspectives, sur les extensions possibles de ces techniques, notamment en remplaçant les surfaces isopérimétriques par des surfaces de Willmore.

Lorenzo Foscolo (Heriot Watt University, Edimbourg) : Degenerations of special holonomy metrics.

Exposé de recherche

Felix Schulze (University College London) : Optimal isoperimetric inequalities for surfaces in any codimension in Cartan-Hadamard manifolds.
Let (M^n,g) be simply connected, complete, with non-positive sectional curvatures, and \Sigma a 2-dimensional surface in M^n. Let S be an area minimising 3-current such that \partial S = \Sigma. We use a weak mean curvature flow, obtained via elliptic regularisation, starting from \Sigma, to show that S satisfies the optimal Euclidean isoperimetric inequality: |S| \leq 1/(6\sqrt{\pi}) |\Sigma|^{3/2}. We also obtain the optimal estimate in case the sectional curvatures of M are bounded from above by \kappa < 0 and characterise the case of equality. The proof follows from an almost monotonicity of a suitable isoperimetric difference along the approximating flows in one dimension higher.